真ではない

左側が右側を保証しない、という意味です。 ⊭ は「真ではない」関係を表す記号で、付値とは式に真理値を割り当てることです。Γ ⊭ φ なら、Γ が真で φ が偽になる付値が少なくとも一つあります。この「含意しない」という記法は、式の内部の接続詞ではなく、式どうしの関係を述べるメタ言語上の記号です。

斜線付き二重ターンスタイルの歴史は、命題を断言する印であるフレーゲの断言線と結びついています。その後の論理学では、二重ターンスタイルが意味論的帰結やモデルによる充足を表すようになり、斜線はその関係を否定します。

⊭ が否定するのは何？

保証を否定しますが、可能な結論すべてを否定するわけではありません。 P ⊭ Q は、P が真で Q が偽になる解釈があるという意味です。Q が常に偽という意味でも、P ⊨ ¬Q という意味でもありません。前提なしの ⊭ φ は、φ がトートロジーではなく、ある付値で偽になることを表します。

モデル理論では、二重ターンスタイルは充足も表します。A ⊨ Γ は構造 A が Γ の式を満たすという意味で、A ⊭ Γ はその充足を否定します。

⊭ をどう入力する？

記号を定義する LaTeX 環境では \nvDash を使います。 使用できるコマンドは記号パッケージとエンジンによって異なります。