Sottogruppo normale di

H è un sottogruppo che il coniugio non sposta mai. Un sottogruppo è un gruppo più piccolo dentro G. È normale quando, per ogni g in G, l’insieme gHg⁻¹ è di nuovo H; in modo equivalente, la classe laterale sinistra gH coincide con quella destra Hg.

I sottogruppi normali sono esattamente quelli per cui si può «dividere»: G/H diventa un gruppo, il gruppo quoziente. Esempi: ogni sottogruppo di un gruppo commutativo, ogni sottogruppo di indice 2 e il nucleo di qualsiasi omomorfismo. Un gruppo senza sottogruppi normali oltre a quello banale e a sé stesso si dice semplice; sono i mattoni di tutti i gruppi finiti.

L’idea risale a Évariste Galois e ai suoi studi sulla risoluzione delle equazioni. Il nome arrivò dopo: Heinrich Weber scrisse «Normalteiler» nel suo Lehrbuch der Algebra (1895–1896); prima si diceva «sottogruppo invariante» o «autoconiugato», e l’inglese «normal subgroup» è attestato nel 1908.

H può essere uguale a G? E ⊴?

Dipende dall’autore: controlla le sue definizioni. Molti libri usano ⊴ (con trattino, come ≤) quando H può coincidere con G e riservano ⊲ a un sottogruppo normale proprio, strettamente più piccolo. Altri usano ⊲ in entrambi i casi. Lo specchiato ⊳ dice la stessa cosa letta al contrario: G ⊳ H significa che H è normale in G.