Intégrale de volume

Intégrer sur un domaine tridimensionnel fermé, sans bord.

Chaque partie du signe a un rôle. Le trait ∫ veut dire « additionner une infinité de minuscules morceaux » ; trois traits indiquent que ces morceaux remplissent trois dimensions, donc un volume. Le cercle vient de ∮ (autour d’une boucle fermée) et de ∯ (sur une surface fermée comme une sphère) : le domaine se referme sur lui-même et n’a pas de bord. Exemple naturel : le bord tridimensionnel d’une région à quatre dimensions, qui apparaît dans les formes généralisées des théorèmes de Gauss et de Stokes et en relativité.

En analyse et en physique courantes, on ne le voit presque jamais. Les intégrales de volume (masse, charge, volume) s’écrivent avec ∭ ou un seul ∫ portant un V en indice, et certains auteurs emploient ∰ librement pour souligner que la région est fermée. Le texte autour tranche. Toute la famille descend de Leibniz, qui écrivit ∫ dans un manuscrit de 1675 comme un s long du latin summa, « somme ».