Bovenintegraal van Darboux

Je zoekt de beste bovengrens met behulp van bovensommen. Neem een begrensde reële functie op een gesloten, eindig interval en verdeel dat interval in stukken. Neem op elk stuk het supremum van de functiewaarden: de kleinste bovengrens. Vermenigvuldig dit met de breedte en tel de uitkomsten op. Dat is een bovensom. Bij een niet-negatieve functie kun je denken aan rechthoeken die de oppervlakte onder de grafiek bedekken.

De bovenintegraal is het infimum van al die bovensommen: hun grootste ondergrens, waar geen bovensom onder komt. Voor f(x) = x op [0, 1] geeft één rechthoek een bovensom van 1; twee even brede rechthoeken geven 0,75. Met steeds meer gelijke stukken naderen de sommen de bovenintegraal, 0,5.

Waarom vergelijken met de onderintegraal?

Gelijke waarden betekenen dat de functie Riemann-integreerbaar is. De onderintegraal ⨜ begint bij ondersommen, die op elk stuk de grootste ondergrens van de functiewaarden gebruiken. Hij is het supremum van die sommen: hun kleinste bovengrens. De onderintegraal is nooit groter dan de bovenintegraal.

Voor een begrensde functie op een gesloten, eindig interval betekent gelijkheid dat de Riemannintegraal bestaat en die gemeenschappelijke waarde heeft. Blijft er een verschil, dan bestaat daar geen Riemannintegraal, hoewel de boven- en onderintegraal wel bestaan.