عامل الحلقة

الدالة اليمنى: تعمل g أولًا ثم f.

ابدأ بـ x، احسب g(x)، ثم أعطِ الناتج إلى f. إذا كانت f(x) = x + 1 وg(x) = 2x فإن ‏(f ∘ g)(3) = f(6) = 7، أما ‏(g ∘ f)(3) = g(4) = 8. تبديل الترتيب يعطي غالبًا دالة مختلفة.

يبدو الترتيب معكوسًا لأننا نكتب الدالة قبل مدخلها. في f(g(x)) تظهر f أولًا على الورق مع أن g تعمل قبلها، والرمز f ∘ g يحافظ على ترتيب الكتابة هذا. تخيّل سلسلة آلات: يدخل x إلى g، وما يخرج منها يدخل إلى f.

هل تعني الدائرة الصغيرة شيئًا آخر أحيانًا؟

نعم: تستعيرها عمليات أخرى، ويُعرَّف معناها دائمًا في النص.

في الجبر المجرد تدل a ∘ b غالبًا على عملية عامة في زمرة أو بنية أخرى. وفي الجبر الخطي قد تعني A ∘ B جداء هادامار: ضرب مصفوفتين متساويتي الأبعاد عنصرًا بعنصر. وفي نظرية الفئات تركّب الأسهم، وفي نظرية المجموعات تركّب العلاقات، وكلها صور لفكرة واحدة: «افعل هذا ثم ذاك». إذا استعمل كتاب ∘ بمعنى غير مألوف عرّفه عند أول ظهور.