モデル

二重ターンスタイルは、モデルでの真偽や意味論的帰結を表します。 モデルとは、論理記号に意味を与える数学的な解釈です。A ⊧ φでは、構造Aが式φを真にします。Γ ⊧ φでは、前提Γからφが意味論的に帰結します。つまり、Γを真にするすべてのモデルがφも真にします。左側に前提がない⊧ φは、φがすべてのモデルで成り立つことを表します。

サイモン・コッヘンは1961年、モデル理論で二重ターンスタイルを広く使いました。本人は、この記法を自分で考案したのか借りたのか思い出せないと述べています。論理的帰結を表す用法は、おそらく1963年ごろに現れ、遅くとも1967年には使われていました。

⊧と⊢はどう違う？

⊧は意味上の真偽を表し、⊢は形式的な導出を表します。 Γ ⊢ φは、証明体系が前提Γからφを導くという意味です。Γ ⊧ φは、Γを真にするすべてのモデルがφも真にするという意味です。二つの記号は、証明規則から何が導けるかと、すべての解釈で何が成り立つかという別々の問いに答えます。

誰かから⊧が送られてきたら？

たいていは論理学や数学の話題を示します。 メッセージ内の近くの式を見てください。記号の位置によって、モデルと式の関係か、前提と結論の関係かが分かります。