Podwójna strzałka w lewo i w prawo

Każde zdanie wynika z drugiego: „wtedy i tylko wtedy”.

Zapis P ⇔ Q, gdzie P i Q to zdania, mówi, że z P wynika Q i z Q wynika P. W logice nazywa się to równoważnością logiczną: oba zdania są prawdziwe dokładnie w tych samych przypadkach, więc jedno może zastąpić drugie w rozumowaniu.

Sprawdź, zanim napiszesz. x = 2 ⇒ x² = 4 jest prawdą, ale x = 2 ⇔ x² = 4 jest fałszem dla liczb rzeczywistych, bo x = −2 do kwadratu też daje 4. Pisz ⇔ dopiero, gdy zachodzą obie strony.

Skąd się wziął symbol równoważności?

Wyrósł z logiki matematycznej XX wieku.

Archiwum historii matematyki MacTutor odnotowuje pojedynczą strzałkę ↔ i podwójną ⇔ dla równoważności logicznej w 1933 and 1954, czyli odpowiednio w 1933 i 1954 roku. Formę z podwójną kreską przypisuje się Bourbakiemu – grupie głównie francuskich matematyków publikujących pod wspólnym pseudonimem.

Jej zadaniem było ściśnięcie zwrotu „wtedy i tylko wtedy” (w skrócie „wtw”, po angielsku „iff”) w jeden znak. Podwójne kreski pasują do ⇒, strzałki implikacji w jedną stronę: para czyta się jako „jeden kierunek” kontra „oba kierunki”.