Doppelpfeil nach links und rechts

Jede Aussage folgt aus der anderen: „genau dann, wenn“.

P ⇔ Q, wobei P und Q Aussagen sind, heißt: Aus P folgt Q, und aus Q folgt P. In der Logik nennt man das Bikonditional oder logische Äquivalenz: Beide Aussagen sind in genau denselben Fällen wahr, also kann die eine die andere im Argument ersetzen.

Prüfen Sie es vorher. x = 2 ⇒ x² = 4 stimmt, aber x = 2 ⇔ x² = 4 ist für reelle Zahlen falsch, weil auch x = −2 quadriert 4 ergibt. Schreiben Sie ⇔ erst, wenn beide Richtungen gelten.

Woher kommt das Zeichen für „genau dann, wenn“?

Es entstand in der mathematischen Logik des 20. Jahrhunderts.

Das Archiv zur Mathematikgeschichte MacTutor verzeichnet den einfachen Pfeil ↔ und den doppelten ⇔ für logische Äquivalenz in 1933 and 1954, also 1933 bzw. 1954. Die Doppelstrichform wird Bourbaki zugeschrieben, einer Gruppe überwiegend französischer Mathematiker, die unter einem gemeinsamen Pseudonym veröffentlichte.

Seine Aufgabe war, die Wendung „genau dann, wenn“ (schriftlich oft „gdw“, englisch „iff“) in ein Zeichen zu packen. Die Doppelstriche passen zu ⇒, dem Pfeil für die einseitige Folgerung – das Paar liest sich als „eine Richtung“ gegen „beide Richtungen“.